0. 引言

在强化学习（六）时序差分在线控制算法SARSA中我们讨论了时序差分的在线控制算法SARSA，而另一类时序差分的离线控制算法还没有讨论，因此本文我们关注于时序差分离线控制算法，主要是经典的Q-Learning算法。

Q-Learning这一篇对应Sutton书的第六章部分和UCL强化学习课程的第五讲部分。

1. Q-Learning算法的引入　　　　

Q-Learning算法是一种使用时序差分求解强化学习控制问题的方法，回顾下此时我们的控制问题可以表示为：给定强化学习的5个要素：状态集 $S$, 动作集 $A$, 即时奖励 $R$，衰减因子 $γ$, 探索率 $ϵ$, 求解最优的动作价值函数 $q∗$和最优策略 $π∗$。

这一类强化学习的问题求解不需要环境的状态转化模型，是不基于模型的强化学习问题求解方法。对于它的控制问题求解，和蒙特卡罗法类似，都是价值迭代，即通过价值函数的更新，来更新策略，通过策略来产生新的状态和即时奖励，进而更新价值函数。一直进行下去，直到价值函数和策略都收敛。

再回顾下时序差分法的控制问题，可以分为两类，一类是在线控制，即一直使用一个策略来更新价值函数和选择新的动作，比如我们上一篇讲到的SARSA, 而另一类是离线控制，会使用两个控制策略，一个策略用于选择新的动作，另一个策略用于更新价值函数。这一类的经典算法就是Q-Learning。

对于Q-Learning，我们会使用 $ϵ−$贪婪法来选择新的动作，这部分和SARSA完全相同。但是对于价值函数的更新，Q-Learning使用的是贪婪法，而不是SARSA的 $ϵ−$贪婪法。这一点就是SARSA和Q-Learning本质的区别。

2. Q-Learning算法概述

Q-Learning算法的拓扑图如下图所示：

Q Learning 拓扑图

首先我们基于状态 $S$，用 $ϵ−$贪婪法选择到动作 $A$, 然后执行动作$A$，得到奖励 $R$，并进入状态 $S’$，此时，如果是SARSA，会继续基于状态 $S’$，用 $ϵ−$贪婪法选择 $A’$,然后来更新价值函数。但是Q-Learning则不同。

对于Q-Learning，它基于状态 $S’$，没有使用 $ϵ−$贪婪法选择 $A$，而是使用贪婪法选择 $A’$，也就是说，选择使 $Q(S’,a)$ 最大的 $a$ 作为 $A’$来更新价值函数。用数学公式表示就是：

$$Q(S,A)=Q(S,A)+\alpha(R+\gamma\max_aQ(S^{\prime},a)-Q(S,A))$$

对应到上图中就是在图下方的三个黑圆圈动作中选择一个使 $Q(S’,a)$最大的动作作为 $A’$。

此时选择的动作只会参与价值函数的更新，不会真正的执行。价值函数更新后，新的执行动作需要基于状态 $S’$，用 $ϵ−$贪婪法重新选择得到。这一点也和SARSA稍有不同。对于SARSA，价值函数更新使用的 $A’$ 会作为下一阶段开始时候的执行动作。

下面我们对Q-Learning算法做一个总结。

3. Q-Learning算法流程

下面我们总结下Q-Learning算法的流程。

• 算法输入：迭代轮数 $T$，状态集 $S$, 动作集 $A$, 步长 $α$，衰减因子 $γ$, 探索率 $ϵ$,
• 输出: 所有的状态和动作对应的价值 $Q$
  • 1. 随机初始化所有的状态和动作对应的价值Q�. 对于终止状态其Q�值初始化为0.
  • 2. for i from 1 to T，进行迭代。
    • a) 初始化 $S$ 为当前状态序列的第一个状态。
    • b) 用 $ϵ−$贪婪法在当前状态 $S$ 选择出动作 $A$
    • c) 在状态 $S$执行当前动作 $A$,得到新状态 $S’$和奖励 $R$
    • d) 更新价值函数 $Q(S,A)$:
      • $$Q(S,A)+\alpha(R+\gamma\max_aQ(S^{\prime},a)-Q(S,A))$$
    • e) $S=S'$
    • f) 如果$S’$是终止状态，当前轮迭代完毕，否则转到步骤b)

4. Q-Learning算法实例：Windy GridWorld

我们还是使用和SARSA一样的例子来研究Q-Learning。如果对windy gridworld的问题还不熟悉，可以复习强化学习（六）时序差分在线控制算法SARSA第4节的第二段。

完整的代码参见github: https://github.com/ljpzzz/machinelearning/blob/master/reinforcement-learning/q_learning_windy_world.py

绝大部分代码和SARSA是类似的。这里我们可以重点比较和SARSA不同的部分。区别都在episode()这个函数里面。

首先是初始化的时候，我们只初始化状态 $S$,把 $A$ 的产生放到了while循环里面, 而回忆下SARSA会同时初始化状态 $S$ 和动作 $A$，再去执行循环。下面这段Q-Learning的代码对应我们算法的第二步步骤a和b：

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# play for an episode
def episode(q_value):
  # track the total time steps in this episode
  time = 0

  # initialize state
  state = START

  while state != GOAL:
  # choose an action based on epsilon-greedy algorithm
    if np.random.binomial(1, EPSILON) == 1:
      action = np.random.choice(ACTIONS)
    else:
      values_ = q_value[state[0], state[1], :]
      action = np.random.choice([action_ for action_, value_ in enumerate(values_) if value_ == np.max(values_)])

接着我们会去执行动作 $A$,得到 $S’$， 由于奖励不是终止就是-1，不需要单独计算。,这部分和SARSA的代码相同。对应我们Q-Learning算法的第二步步骤c：

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next_state = step(state, action)

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def step(state, action):
  i, j = state
  if action == ACTION_UP:
    return [max(i - 1 - WIND[j], 0), j]
  elif action == ACTION_DOWN:
    return [max(min(i + 1 - WIND[j], WORLD_HEIGHT - 1), 0), j]
  elif action == ACTION_LEFT:
    return [max(i - WIND[j], 0), max(j - 1, 0)]
  elif action == ACTION_RIGHT:
    return [max(i - WIND[j], 0), min(j + 1, WORLD_WIDTH - 1)]
  else:
    assert False

后面我们用贪婪法选择出最大的 $Q(S’,a)$,并更新价值函数，最后更新当前状态 $S$。对应我们Q-Learning算法的第二步步骤d,e。注意SARSA这里是使用ϵ−�−贪婪法，而不是贪婪法。同时SARSA会同时更新状态S�和动作A�,而Q-Learning只会更新当前状态S�。

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values_ = q_value[next_state[0], next_state[1], :]
next_action = np.random.choice([action_ for action_, value_ in enumerate(values_) if value_ == np.max(values_)])

# Sarsa update
q_value[state[0], state[1], action] += \
    ALPHA * (REWARD + q_value[next_state[0], next_state[1], next_action] - q_value[state[0], state[1], action])
state = next_state

跑完完整的代码，大家可以很容易得到这个问题的最优解，进而得到在每个格子里的最优贪婪策略。

5. SARSA vs Q-Learning

现在SARSA和Q-Learning算法我们都讲完了，那么作为时序差分控制算法的两种经典方法吗，他们都有说明特点，各自适用于什么样的场景呢？

Q-Learning直接学习的是 最优策略，而SARSA在学习最优策略的同时还在做探索。这导致我们在学习最优策略的时候，如果用SARSA，为了保证收敛，需要制定一个策略，使 $ϵ−$贪婪法的超参数 $ϵ$在迭代的过程中逐渐变小。Q-Learning没有这个烦恼。

另外一个就是Q-Learning直接学习最优策略，但是最优策略会依赖于训练中产生的一系列数据，所以受样本数据的影响较大，因此受到训练数据方差的影响很大，甚至会影响Q函数的收敛。Q-Learning的深度强化学习版Deep Q-Learning也有这个问题。

在学习过程中，SARSA在收敛的过程中鼓励探索，这样学习过程会比较平滑，不至于过于激进，导致出现像Q-Learning可能遇到一些特殊的最优“陷阱”。比如经典的强化学习问题"Cliff Walk"。

在实际应用中，如果我们是在模拟环境中训练强化学习模型，推荐使用Q-Learning，如果是 在线生产环境 中训练模型，则推荐使用 SARSA。

6. Q-Learning结语　　　　　　　　

对于Q-Learning和SARSA这样的时序差分算法，对于小型的强化学习问题是非常灵活有效的，但是在大数据时代，异常复杂的状态和可选动作，使Q-Learning和SARSA要维护的Q表异常的大，甚至远远超出内存，这限制了时序差分算法的应用场景。在深度学习兴起后，基于深度学习的强化学习开始占主导地位，因此从下一篇开始我们开始讨论深度强化学习的建模思路。