0. 引言

在强化学习(十三) 策略梯度(Policy Gradient)中，我们讲到了基于策略(Policy Based)的强化学习方法的基本思路，并讨论了蒙特卡罗策略梯度reinforce算法。但是由于该算法需要完整的状态序列，同时单独对策略函数进行迭代更新，不太容易收敛。

在本篇我们讨论策略(Policy Based)和价值(Value Based)相结合的方法：Actor-Critic算法。

本文主要参考了Sutton的强化学习书第13章和UCL强化学习讲义的第7讲。

1. Actor-Critic算法简介

Actor-Critic从名字上看包括两部分，演员(Actor)和评价者(Critic)。其中Actor使用我们上一节讲到的策略函数，负责生成动作(Action)并和环境交互。而Critic使用我们之前讲到了的价值函数，负责评估Actor的表现，并指导Actor下一阶段的动作。

回想我们上一篇的策略梯度，策略函数就是我们的Actor，但是那里是没有Critic的，我们当时使用了蒙特卡罗法来计算每一步的价值部分替代了Critic的功能，但是场景比较受限。因此现在我们使用类似DQN中用的价值函数来替代蒙特卡罗法，作为一个比较通用的Critic。

也就是说在Actor-Critic算法中，我们需要做两组近似，第一组是策略函数的近似：

$$ \pi_\theta(s,a)=P(a|s,\theta)\approx\pi(a|s) $$

第二组是价值函数的近似，对于状态价值和动作价值函数分别是：

$$ \hat{v}(s,w)\approx v_\pi(s) $$

$$ \hat{q}(s,a,w)\approx q_\pi(s,a) $$

对于我们上一节讲到的蒙特卡罗策略梯度reinforce算法，我们需要进行改造才能变成Actor-Critic算法。首先，在蒙特卡罗策略梯度reinforce算法中，我们的策略的参数更新公式是：

$$ \theta=\theta+\alpha\nabla_\theta log\pi_\theta(s_t,a_t)v_t $$

梯度更新部分中，$\nabla_\theta log\pi_\theta(s_t,a_t)$是我们的分值函数，不用动，要变成Actor的话改动的是$v_t$，这块不能再使用蒙特卡罗法来得到，而应该从Critic得到。

而对于Critic来说，这块是新的，不过我们完全可以参考之前DQN的做法，即用一个Q网络来做为Critic，这个Q网络的输入可以是状态，而输出是每个动作的价值或者最优动作的价值。

现在我们汇总来说，就是Critic通过Q网络计算状态的最优价值$v_t$,而Actor利用$v_t$这个最优价值迭代更新策略函数的参数$\theta$,进而选择动作，并得到反馈和新的状态，Critic使用反馈和新的状态更新Q网络参数$w$,在后面Critic会使用新的网络参数$w$来帮Actor计算状态的最优价值$v_{te}$

2. Actor-Critic算法可选形式

在上一节我们已经对Actor-Critic算法的流程做了一个初步的总结，不过有一个可以注意的点就是，我们对于Critic评估的点选择是和上一篇策略梯度一样的状态价值 $v_t$实际上，我们还可以选择很多其他的指标来做为Critic的评估点。而目前可以使用的Actor-Critic评估点主要有：

• a) 基于状态价值：这是我们上一节使用的评估点，这样Actor的策略函数参数更新的法公式是：

  • $$\theta=\theta+\alpha\nabla_\theta log\pi_\theta(s_t,a_t)V(s,w)$$

• b) 基于动作价值：在DQN中，我们一般使用的都是动作价值函数Q来做价值评估，这样Actor的策略函数参数更新的法公式是：

  • $$\theta=\theta+\alpha\nabla_\theta log\pi_\theta(s_t,a_t)Q(s,a,w)$$

• c) 基于TD误差：在强化学习（五）用时序差分法（TD）求解中，我们讲到了TD误差，它的表达式是 $\delta(t)=R_{t+1}+\gamma V(S_{t+1})-V(S_t)$ 或者 $\delta(t)=R_{t+1}+\gamma Q(S_{t+1}\text{,}A_{t+1})-Q(S_t,A_t)$, 这样Actor的策略函数参数更新的法公式是：

  • $$\theta=\theta+\alpha\nabla_\theta log\pi_\theta(s_t,a_t)\delta(t)$$

• d) 基于优势函数：在强化学习(十二) Dueling DQN中，我们讲到过优势函数A的定义：$A(S,A,w,\beta)=Q(S,A,w,\alpha,\beta)-V(S,w,\alpha)$, 即动作价值函数和状态价值函数的差值。这样Actor的策略函数参数更新的法公式是：

  • $$\theta=\theta+\alpha\nabla_\theta log\pi_\theta(s_t,a_t)A(S,A,w,\beta)$$

• e) 基于 $TD(λ)$ 误差：一般都是基于后向 $TD(λ)$误差, 在强化学习（五）用时序差分法（TD）求解中也有讲到，是TD误差和效用迹E的乘积。这样Actor的策略函数参数更新的法公式是：

  • $\theta=\theta+\alpha\nabla_\theta log\pi_\theta(s_t,a_t)\delta(t)E(t)$

对于Critic本身的模型参数 $w$ ，一般都是使用均方误差损失函数来做做迭代更新，类似之前DQN系列中所讲的迭代方法. 如果我们使用的是最简单的线性Q函数，比如 $Q(s,a,w)=ϕ(s,a)^Tw$,则Critic本身的模型参数 $w$的更新公式可以表示为：

$$\begin{gathered} \delta=R_{t+1}+\gamma Q(S_{t+1}\text{,}A_{t+1})-Q(S_t,A_t) \\ w=w+\beta\delta\phi(s,a) \end{gathered}$$

通过对均方误差损失函数求导可以很容易的得到上式。当然实际应用中，我们一般不使用线性Q函数，而使用神经网络表示状态和Q值的关系。

3. Actor-Critic算法流程

这里给一个Actor-Critic算法的流程总结，评估点基于TD误差，Critic使用神经网络来计算TD误差并更新网络参数，Actor也使用神经网络来更新网络参数　　

算法输入：迭代轮数 $T$，状态特征维度 $n$, 动作集 $A$, 步长 $α$, $β$，衰减因子 $γ$, 探索率 $ϵ$, Critic网络结构和Actor网络结构。

输出：Actor 网络参数 $θ$, Critic网络参数 $w$

• (1). 随机初始化所有的状态和动作对应的价值Q�. 随机初始化Critic网络的所有参数$w$。随机初始化Actor网络的所有参数$\theta$。
• (2). for i from 1 to T，进行迭代。
  • a) 初始化 $S$ 为当前状态序列的第一个状态, 拿到其特征向量 $ϕ(S)$
  • b) 在Actor网络中使用 $ϕ(S)$ 作为输入，输出动作 $A$,基于动作 $A$得到新的状态 $S’$,反馈 $R$。
  • c) 在Critic网络中分别使用 $ϕ(S)$，$ϕ(S’)$ 作为输入，得到Q值输出 $V(S)$，$V(S’)$
  • d) 计算TD误差 $\delta=R+\gamma V(S^{\prime})-V(S)$
  • e) 使用均方差损失函数 $\sum(R+\gamma V(S^{\prime})-V(S,w))^2$ 作Critic网络参数 $w$的梯度更新
  • f) 更新Actor网络参数 $θ$:
    • $$\theta=\theta+\alpha\nabla_\theta log\pi_\theta(S_t,A)\delta $$

对于Actor的分值函数 $∇_θlogπ_θ(S_t,A)$,可以选择softmax或者高斯分值函数。

上述Actor-Critic算法已经是一个很好的算法框架，但是离实际应用还比较远。主要原因是这里有两个神经网络，都需要梯度更新，而且互相依赖。但是了解这个算法过程后，其他基于Actor-Critic的算法就好理解了。

4. Actor-Critic算法实例

下面我们用一个具体的例子来演示上面的Actor-Critic算法。仍然使用了OpenAI Gym中的CartPole-v0游戏来作为我们算法应用。CartPole-v0游戏的介绍参见这里。它比较简单，基本要求就是控制下面的cart移动使连接在上面的pole保持垂直不倒。这个任务只有两个离散动作，要么向左用力，要么向右用力。而state状态就是这个cart的位置和速度， pole的角度和角速度，4维的特征。坚持到200分的奖励则为过关。

算法流程可以参考上面的第三节，这里的分值函数我们使用的是softmax函数，和上一片的类似。完整的代码参见Github：https://github.com/ljpzzz/machinelearning/blob/master/reinforcement-learning/actor_critic.py

代码主要分为两部分，第一部分是Actor，第二部分是Critic。对于Actor部分，大家可以和上一篇策略梯度的代码对比，改动并不大，主要区别在于梯度更新部分，策略梯度使用是蒙特卡罗法计算出的价值 $v(t)$,则我们的actor使用的是TD误差。

在策略梯度部分，对应的位置如下：

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self.loss = tf.reduce_mean(self.neg_log_prob * self.tf_vt)  # reward guided loss

而我们的Actor对应的位置的代码是：

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self.exp = tf.reduce_mean(self.neg_log_prob * self.td_error)

此处要注意的是，由于使用的是TD误差，而不是价值 $v(t)$,此处需要最大化self.exp,而不是最小化它，这点和策略梯度不同。对应的Actor代码为：

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#这里需要最大化当前策略的价值，因此需要最大化self.exp,即最小化-self.exp
self.train_op = tf.train.AdamOptimizer(LEARNING_RATE).minimize(-self.exp)

除此之外，Actor部分的代码和策略梯度的代码区别并不大。

对于Critic部分，我们使用了类似于DQN的三层神经网络。不过我们简化了这个网络的输出，只有一维输出值，而不是之前DQN使用的有多少个可选动作，就有多少维输出值。网络结构如下:

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def create_Q_network(self):
  # network weights
  W1q = self.weight_variable([self.state_dim, 20])
  b1q = self.bias_variable([20])
  W2q = self.weight_variable([20, 1])
  b2q = self.bias_variable([1])
  self.state_input = tf.placeholder(tf.float32, [1, self.state_dim], "state")
  # hidden layers
  h_layerq = tf.nn.relu(tf.matmul(self.state_input, W1q) + b1q)
  # Q Value layer
  self.Q_value = tf.matmul(h_layerq, W2q) + b2q

和之前的DQN相比，这里还有一个区别就是我们的critic没有使用DQN的经验回放，只是使用了反馈和当前网络在下一个状态的输出来拟合当前状态。

对于算法中Actor和Critic交互的逻辑，在main函数中：

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for step in range(STEP):
  action = actor.choose_action(state) # e-greedy action for train
  next_state,reward,done,_ = env.step(action)
  td_error = critic.train_Q_network(state, reward, next_state)  # gradient = grad[r + gamma * V(s_) - V(s)]
  actor.learn(state, action, td_error)  # true_gradient = grad[logPi(s,a) * td_error]
  state = next_state
  if done:
      break

大家对照第三节的算法流程和代码应该可以比较容易理清这个过程。但是这个程序很难收敛。因此大家跑了后发现分数总是很低的话是可以理解的。我们需要优化这个问题。

5. Actor-Critic算法小结

基本版的Actor-Critic算法虽然思路很好，但是由于难收敛的原因，还需要做改进。

目前改进的比较好的有两个经典算法，一个是DDPG算法，使用了双Actor神经网络和双Critic神经网络的方法来改善收敛性。这个方法我们在从DQN到Nature DQN的过程中已经用过一次了。另一个是A3C算法，使用了多线程的方式，一个主线程负责更新Actor和Critic的参数，多个辅线程负责分别和环境交互，得到梯度更新值，汇总更新主线程的参数。而所有的辅线程会定期从主线程更新网络参数。这些辅线程起到了类似DQN中经验回放的作用，但是效果更好。

在后面的文章中，我们会继续讨论DDPG和A3C。