2023-07-16 2023-07-16 约 3901 字预计阅读 8 分钟 - 次阅读

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本文最后更新于 2023-07-16，文中内容可能已过时。

最大似然估计（Maximum likelihood estimation, 简称MLE）和最大后验概率估计（Maximum a posteriori estimation, 简称MAP）是很常用的两种参数估计方法，如果不理解这两种方法的思路，很容易弄混它们。下文将详细说明MLE和MAP的思路与区别。

但别急，我们先从概率和统计的区别讲起。

概率和统计是一个东西吗？

概率(probabilty)和统计(statistics)看似两个相近的概念，其实研究的问题刚好相反。

概率研究的问题是，已知一个模型和参数，怎么去预测这个模型产生的结果的特性(例如均值，方差，协方差等等)。举个例子，我想研究怎么养猪(模型是猪)，我选好了想养的品种、喂养方式、猪棚的设计等等(选择参数)，我想知道我养出来的猪大概能有多肥，肉质怎么样(预测结果)。

统计研究的问题则相反。统计是，有一堆数据，要利用这堆数据去预测模型和参数。仍以猪为例。现在我买到了一堆肉，通过观察和判断，我确定这是猪肉(这就确定了模型。在实际研究中，也是通过观察数据推测模型是／像高斯分布的、指数分布的、拉普拉斯分布的等等)，然后，可以进一步研究，判定这猪的品种、这是圈养猪还是跑山猪还是网易猪，等等(推测模型参数)。

一句话总结：概率是已知模型和参数，推数据。统计是已知数据，推模型和参数。

显然，本文解释的MLE和MAP都是统计领域的问题。它们都是用来推测参数的方法。为什么会存在着两种不同方法呢？这需要理解贝叶斯思想。我们来看看贝叶斯公式。

贝叶斯公式到底在说什么？

学习机器学习和模式识别的人一定都听过贝叶斯公式(Bayes’ Theorem)：式[1] $P(A|B)=\frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$

贝叶斯公式看起来很简单，无非是倒了倒条件概率和联合概率的公式。

把B展开，可以写成: 式[2] $P(A|B)=\frac{P(B|A)P(A)}{P(B|A)P(A) + P(B|\sim A)P(\sim A)}$

这个式子就很有意思了。

想想这个情况。一辆汽车(或者电瓶车)的警报响了，你通常是什么反应？有小偷？撞车了？不。。你通常什么反应都没有。因为汽车警报响一响实在是太正常了！每天都要发生好多次。本来，汽车警报设置的功能是，出现了异常情况，需要人关注。然而，由于虚警实在是太多，人们渐渐不相信警报的功能了。

贝叶斯公式就是在描述，你有多大把握能相信一件证据？（how much you can trust the evidence）

我们假设响警报的目的就是想说汽车被砸了。把$A$计作“汽车被砸了”，$B$计作“警报响了”，带进贝叶斯公式里看。我们想求等式左边发生$A∣B$的概率，这是在说警报响了，汽车也确实被砸了。汽车被砸**引起(trigger)**警报响，即B∣A。但是，也有可能是汽车被小孩子皮球踢了一下、被行人碰了一下等其他原因(统统计作$\sim A$)，其他原因引起汽车警报响了，即 $B|\sim A$。那么，现在突然听见警报响了，这时汽车已经被砸了的概率是多少呢(这即是说，警报响这个证据有了，多大把握能相信它确实是在报警说汽车被砸了)想一想，应当这样来计算。用警报响起、汽车也被砸了这事件的数量，除以响警报事件的数量(这即[式1])。进一步展开，即警报响起、汽车也被砸了的事件的数量，除以警报响起、汽车被砸了的事件数量加上警报响起、汽车没被砸的事件数量(这即[式2])。

再思考[式2]。想让$P(A∣B)=1$，即警报响了，汽车一定被砸了，该怎么做呢？让$P(B|\sim A)P(\sim A) = 0$即可。很容易想清楚，假若让$P(\sim A)=0$,即杜绝了汽车被球踢、被行人碰到等等其他所有情况，那自然，警报响了，只剩下一种可能——汽车被砸了。这即是提高了响警报这个证据的说服力。

**从这个角度总结贝叶斯公式：做判断的时候，要考虑所有的因素。**老板骂你，不一定是你把什么工作搞砸了，可能只是他今天出门前和太太吵了一架。

再思考[式2]。观察【式2】右边的分子，$P(B∣A)$为汽车被砸后响警报的概率。姑且认为这是1吧。但是，若$P(A)$很小，即汽车被砸的概率本身就很小，则$P(B∣A)P(A)$仍然很小，即【式2】右边分子仍然很小，$P(A|B)$还是大不起来。这里，$P(A)$ 即是常说的先验概率，如果A的先验概率很小，就算$P(B∣A)$较大，可能A的后验概率$P(A∣B)$还是不会大(假设$P(B∣\sim A)P(\sim A)$不变的情况下)。

从这个角度思考贝叶斯公式：一个本来就难以发生的事情，就算出现某个证据和他强烈相关，也要谨慎。证据很可能来自别的虽然不是很相关，但发生概率较高的事情。

似然函数

似然(likelihood)这个词其实和概率(probability)是差不多的意思，Colins字典这么解释:The likelihood of something happening is how likely it is to happen. 你把likelihood换成probability，这解释也读得通。但是在统计里面，似然函数和概率函数却是两个不同的概念(其实也很相近就是了)。

对于这个函数:

$$P(x|\theta)$$

输入有两个: $x$表示某一个具体的数据；$\theta$表示模型的参数。

如果$\theta$是已知确定的，$x$是变量，这个函数叫做概率函数(probability function)，它描述对于不同的样本点x，其出现概率是多少。

如果$x$是已知确定的，$\theta$是变量，这个函数叫做似然函数(likelihood function), 它描述对于不同的模型参数，出现$x$这个样本点的概率是多少。

最大似然估计(MLE)

假设有一个造币厂生产某种硬币，现在我们拿到了一枚这种硬币，想试试这硬币是不是均匀的。即想知道抛这枚硬币，正反面出现的概率（记为$\theta$）各是多少？

这是一个统计问题，回想一下，解决统计问题需要什么？数据！

于是我们拿这枚硬币抛了10次，得到的数据($x_0$)是：反正正正正反正正正反。我们想求的正面概率$\theta$是模型参数，而抛硬币模型我们可以假设是二项分布。

那么，出现实验结果$x_0$(即反正正正正反正正正反)的似然函数是多少呢？

$$f(x_0 ,\theta) = (1-\theta)\times\theta\times\theta\times\theta\times\theta\times(1-\theta)\times\theta\times\theta\times\theta\times(1-\theta) = \theta ^ 7(1 - \theta)^3 = f(\theta)$$ 注意，这是个只关于$\theta$的函数。而最大似然估计，顾名思义，就是要最大化这个函数。我们可以画出$f(\theta)$的图像：

可以看出，在$\theta = 0.7$时，似然函数取得最大值。

这样，我们已经完成了对$\theta$的最大似然估计。即，抛10次硬币，发现7次硬币正面向上，最大似然估计认为正面向上的概率是0.7。（ummm…这非常直观合理，对吧？）

且慢，一些人可能会说，硬币一般都是均匀的啊！就算你做实验发现结果是“反正正正正反正正正反”，我也不信$\theta = 0.7$。

这里就包含了贝叶斯学派的思想了——要考虑先验概率。为此，引入了最大后验概率估计。

最大后验概率估计(MAP)

最大似然估计是求参数$\theta$, 使似然函数$P(x_0 | \theta)$最大。最大后验概率估计则是想求$\theta$使$P(x_0|\theta)$ 最大。求得的$\theta$不单单让似然函数大，不单单让似然函数大，$\theta$自己出现的先验概率也得大。(这有点像正则化里加惩罚项的思想，不过正则化里是利用加法，而MAP里是利用乘法).

MAP其实是在最大化$P(\theta|x_0) = \frac{P(x_0|\theta)P(\theta)}{P(x_0)}$，不过因为$x_0$是确定的(即投出的“反正正正正反正正正反”)，$P(x_0)$是一个已知值，所以去掉了分母$P(x_0)$(假设“投10次硬币”是一次实验，实验做了1000次，“反正正正正反正正正反”出现了n次，则$P(x_0) = n/1000$)。总之，这是一个可以由数据集得到的值）。最大化$P(\theta | x_0)$的意义也很明确，$x_0$已经出现了，要求$\theta$取什么值使$P(\theta | x_0)$最大。顺带一提，$P(\theta | x_0)$, 即后验概率，这就是“最大后验概率估计”名字的由来。

对于投硬币的例子来看，我们认为（”先验地知道“$\theta$取0.5的概率很大，取其他值的概率小一些。我们用一个高斯分布来具体描述我们掌握的这个先验知识，例如假设$P(\theta)$为均值0.5，方差0.1的高斯函数，如下图：